%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%     Vorlage zur Erstellung der Lösung eines Übungsblattes mit Latex   %%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[12pt, a4paper, ngerman]{article}
% Mit % werden Kommentare eingefügt, die nicht im eigentlichen Dokument erscheinen 

%%%%%%%%%%% Die Präambel %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[a4paper,
left=2.0cm, right=2.0cm, top=2.0cm, bottom=1.7cm]{geometry}	%Einstellung der Ränder des Dokuments 
\usepackage{geometry}     
\usepackage[ngerman]{babel} % Unterstützung der deutschen Sprache, d.h. ö, ß usw. können angezeigt werden 
\usepackage[latin9]{inputenc} 
\usepackage{graphicx} % Ermöglicht das Einbinden von Bildern.
\usepackage{tikz} % Ermöglicht das Benutzen von TikZ, um Bilder zu zeichnen.
\usetikzlibrary{arrows,shapes,trees,calc,fadings,intersections,3d} % Lädt einige TikZ Libraries.
\usepackage{amsmath} % Ermöglicht die Nutzung mathematischer Formeln.
\usepackage{amssymb} % Ermöglicht die Nutzung von Symbolen wie Pfeilen. 
\usepackage{hyperref} % Ermöglicht das Verlinken von z.B. Websites. Sie werden das vermutlich nicht brauchen.

%%%%%%%%%%% Ende der Präambel %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Mathematisches
\def\N{\mathbb N} % def lässt uns Abkürzungen definieren, statt \mathbb N können wir \N benutzen.
\def\Z{\mathbb Z}
\def\R{\mathbb R}

\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\emptyset{\varnothing}

\date{} % Entfernt das Datum

\renewcommand{\arraystretch}{2} % Verbessert das Aussehen von Tabellen
\pagestyle{empty}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document} % Ab hier beginnt das eigentliche Dokument 



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Deckblatt  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Das Deckblatt können Sie einmal vorbereiten und danach nur die Blattnummer ändern.

\title{Übungen zu Numerik I} % Titel des Dokuments 
\maketitle % Der Titel wird angezeigt.
\thispagestyle{empty}

\noindent{\LARGE \textbf{Teilnehmer/in:}} \\ % Bitte die unteren Felder ausfüllen.
\\
\indent {\large \textbf{Blatt:} 0} \\ % Blattnummer. Auf dem Deckblatt müssen Sie nur das jedes Mal ändern.
\\
\indent {\large \textbf{Name, Vorname:} Mustermann, Max} \\ % Ihr Name und Vorname
\\
\indent {\large \textbf{Matrikelnummer:} 0000000} \\ % Ihre Matrikelnummer
\\
\indent {\large \textbf{Gruppe:} 0} \\ % Ihre Gruppe

\vspace{2cm}

\noindent {\LARGE \textbf{Ergebnis:}} % Diesen Teil füllen die Tutoren aus.
\begin{center}
\begin{tabular}{ |p{2.5cm}||p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}||p{1.5cm}||p{1.5cm}| } 
 \hline
 {\large Aufgabe} & {\large 1} & {\large 2} & {\large 3} & {\large 4} & {\large $\sum$} & {\large $\sum\sum$} \\ 
 {\large Punkte} & & & & & & \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{.7cm}
\indent{\large \textbf{Korrektor/in:}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage % Die Lösung zu jeder Aufgabe soll auf einer neuen Seite anfangen.



\section*{Aufgabe 1} % Abschnitt innerhalb des Dokuments 
 
 % Nummerierung beginnt 
Seien $f_1,f_2,g : I \to \R$, wobei $I \subset \R$ ein Intervall mit $x_0 \in I$ ist und sei $x\to x_0$. Zeigen Sie die folgende Rechenregel f\"ur die Landausymbole: 
\begin{equation*}% Beginn der mathematischen Umgebung
 f_1= \mathcal{O}(g), f_2= \mathcal{O}(g) \Rightarrow f_1+f_2= \mathcal{O}(g). 
\end{equation*} % Ende  der mathematischen Umgebung


\section*{Lösung Aufgabe 1}

$f_1= \mathcal{O}(g)$ bedeutet $\exists c_1>0,\exists \eps_1>0$, sodass $|f_1(x)|\le c_1|g(x)|$ für alle $x$ mit $|x-x_0|<\eps_1$. \\
Analog gilt für $f_2= \mathcal{O}(g)$: 
Es existieren $ c_2>0$ und  $\eps_2>0$, sodass $|f_2(x)|\le c_2|g(x)|$ für alle $x$ mit $|x-x_0|<\eps_2$. \\
\\
Wählen wir nun $c:=c_1+c_2$ und $\eps:=\min(\eps_1,\eps_2)$, dann folgt $|f_1(x)+f_2(x)|\le |f_1(x)|+|f_2(x)|\le c_1|g(x)|+c_2|g(x)|=c|g(x)|$ für alle $x$ mit $|x-x_0|<\eps$. Somit gilt $f_1+f_2= \mathcal{O}(g)$.

\vspace{3cm} % Fügt einen vertikalen Abstand von 3 Zentimetern ein. Es gibt auch \hspace.

\noindent
\textbf{Hinweis:} Die Aufgabenstellung müssen Sie nicht abschreiben. Es reicht, die Lösung hinzuschreiben.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage % Die Lösung zu jeder Aufgabe soll auf einer neuen Seite anfangen.


\section*{Lösung Aufgabe 2}

Hier wollen wir zeigen, wie man Bilder einfügen kann.

\begin{enumerate} % Fängt eine Nummerierung an.
	\item % Erster Punkt der Nummerierung
    Die erste Möglichkeit ist es, TikZ zu benutzen:

\begin{center} % um das Bild zu zentrieren
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% TikZ Bild (Anfang) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{tikzpicture}[scale=.3]
\begin{scope}
\path[shade,top color=white, bottom color=black] (0,10.5) -- (7,3.5) -- (3.5,10.5) -- cycle;
     \draw[thin] (0,10.5) -- (7,3.5) -- (3.5,10.5);
     \fill[color=white] (7,3.5) rectangle (10.5,0);
\path[shade,right color=white, left color=black] (10.5,3.5) -- (0,0) -- (10.5,0) -- cycle;
     \draw[thin] (10.5,3.5) -- (0,0) -- (10.5,0);
     \fill[color=white] (-1,-1) rectangle (0,1);
   \foreach \y in {0,3.5,...,10.5}
      \draw[thin] (0,\y) -- (10.5,\y);
   \foreach \x in {0,3.5,...,10.5}
      \draw[thin] (\x,0) -- (\x,10.5);
\end{scope}
\end{tikzpicture} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% TikZ Bild (Ende) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{center} % Ende des zentrierten Teils

Falls es Ihnen gefällt, Bilder in LaTeX zu zeichnen, können Sie die Website TeXample.net zur Inspiration nutzen. Mit der Suchfunktion (Search) können Sie viele schöne Besipiele mit dem dazugehörigen Sourcecode finden (z.B. probieren Sie die Suche nach ``graphs''). Falls nicht, können Sie troztdem versuchen zu zeigen, dass die oben abgebildeten Winkel gleich groß sind :) .

	\item % Zweiter Punkt der Nummerierung
	Außerdem kann man die Abbildungen z.B. mit Hilfe von Python erstellen und mit dem Befehl
	
\begin{center}
	$\backslash$includegraphics\{\}
\end{center}

einfügen (siehe nächste Seite).
	
\end{enumerate} % Ende der Nummerierung

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

\section*{Lösung Aufgabe 3}


Falls Sie keine Zeit hatten, eine Lösung am Computer zu erstellen, können Sie ein beliebiges (z.B. abfotografiertes) Bild mit $\backslash$includegraphics einfügen. Die Benutzung von diesem Befehl und vielen weiteren können Sie in dem in der Fußnote verlinktem Buch \textit{The Not So Short Introduction to LaTeX}\footnote{\url{https://tobi.oetiker.ch/lshort/lshort.pdf}} nachlesen.  % der Befehl lautet \includegraphics{}

\begin{itemize} % Beginnt eine Auflistung. Wie eine Nummerierung, nur ohne Ziffern.
	\item \textbf{Achtung!} Falls dieser Teil der Abgabe nicht leserlich ist, haben die Korrektoren das Recht, ihn mit 0 Punkten zu bewerten.

\end{itemize} % Ende der Auflistung.


\end{document}

%Weitere nützliche Infos: 
% Eine Liste mathematische Symbole findet sich hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_mathematischer_Symbole

%Bilder im eps/pdf Format können wie folgt eingebunden werden. width: Skaliert die Grafik auf die angegebene Breite. 
%\begin{center}
%\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Bild1.eps}
%\end{center}
%\begin{center}
%\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Bild2.pdf}
%\end{center}