Vorträge des Lehrstuhls

Vorträge Sommersemester 2010

• Donnerstag 29. April 2010 um 14:30 Uhr in 25.22.02.81, María López Fernández, Universidad Autonoma de Madrid, ICMM: "Adaptive, fast, and oblivious convolution in evolution equations with memory" Abstract

  Abstract

  To approximate convolutions which occur in evolution equations with memory terms, a variable-step-size algorithm is presented for which advancing $N$ steps requires only $O(N\log N)$ operations and $O(\log N)$ active memory, in place of $O(N^2)$ operations and $O(N)$ memory for a direct implementation. A basic feature of the fast algorithm is the reduction, via contour integral representations, to differential equations which are solved numerically with adaptive step sizes. Rather than the kernel itself, its Laplace transform is used in the algorithm.

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• Donnerstag 15. Juli 2010 um 14:30 Uhr in 25.22.02.81, Matthias Ehrhardt: "Numerische Loesung von partiellen Differentialgleichungen auf unbeschränkten Gebieten mit Anwendungen in der Physik" Abstract

  Abstract

  Bei der numerischen Berechnung der Lösung einer partiellen Differentialgleichung (PDGl) auf einem unbeschränkten Gebiet werden gewöhnlich künstliche Ränder eingeführt, um das Rechengebiet zu beschränken. Spezielle Randbedingungen werden an diesen künstlichen Rändern hergeleitet, um die exakte Ganzraumlösung zu approximieren. Falls die Lösung des Problems auf dem beschränkten Gebiet mit der Ganzraumlösung (eingeschränkt auf das Rechengebiet) identisch ist, werden diese Randbedingungen als transparente Randbedingungen (TRBen) bezeichnet. Existierende Diskretisierungen dieser TRB führen zu numerischen Reflektionen an den künstlichen Rändern und zerstören häufig die Stabilität der zugrundeliegenden numerischen Methode. Diese Probleme treten nicht auf, wenn eine sog. diskrete TRB verwendet wird, die direkt vom diskretisierten Ganzraumproblem hergeleitet wird. Während ich im ersten Teil des Vortrags die Herleitung und grundlegenden Prinzipien der TRBen [1] für lineare PDGLen vorstelle, werde ich im zweiten Abschnitt auf aktuelle Arbeiten zu Finite-Elemente-Methoden für periodischen Medien auf unbeschränkten Gebieten eingehen [3,4,5,6] und erläutern, welche mathematischen Techniken existieren, künstliche Randbedingungen auch für nichtlineare PDGLen (z.B. die kubische Schrödinger Gleichung) zu konstruieren [1,7]. Schliesslich werde ich im dritten Teil kurz auf die zahlreichen Anwendungen speziell in der Physik (Quanten-Wellenleiter [8], Schrödinger Gleichung auf Kreisgebiet [9], Schrödinger-Poisson Systeme [10], sowie Akustik/Optik [11]) eingehen.
  
  REFERENZEN
  
  [1] X. Antoine, A. Arnold, C. Besse, M. Ehrhardt und A. Schädle, "A Review of Transparent and Artificial Boundary Conditions Techniques for Linear and Nonlinear Schrödinger Equations", Commun. Comput. Phys. Vol. 4, Number 4, (2008), 729-796. (open-access article)
  
  [2] X. Antoine, C. Besse, M. Ehrhardt and P. Klein, "Modeling boundary conditions for solving stationary Schroedinger equations", Preprint 10/04, February 2010.
  
  [3] M. Ehrhardt und C. Zheng, "Exact artificial boundary conditions for problems with periodic structures", J. Comput. Phys. Vol. 227, Issue 14, (2008), 6877-6894.
  
  [4] M. Ehrhardt, H. Han und C. Zheng, "Numerical simulation of waves in periodic structures", Commun. Comput. Phys. Vol. 5, Number 5, (2009), 849-872.
  
  [5] M. Ehrhardt, J. Sun und C. Zheng, "Evaluation of exact boundary mappings for one-dimensional semi-infinite periodic arrays", Commun. Math. Sci. Vol. 7, Issue 2 (2009), 347-364.
  
  [6] M. Ehrhardt (ed.), "Wave Propagation in Periodic Media - Analysis, Numerical Techniques and practical Applications", Progress in Computational Physics, Volume 1, Bentham Science Publishers Ltd., Juni 2010.
  
  [7] A. Zisowsky und M. Ehrhardt, "Discrete artificial boundary conditions for nonlinear Schrödinger equations", Math. Comput. Modell. Vol. 47, Issue 11-12, (2008), 1264-1283.
  
  [8] A. Arnold, M. Ehrhardt und M. Schulte, "Numerical Simulation of Quantum Waveguides", Kapitel 4 in: K. Watanabe (ed.), "Very-Large-Scale Integration (VLSI): Architecture, Performance and Nano Applications.", Nova Science Publishers, Inc., Hauppauge, NY 11788, 2008, Seiten 115-137.
  
  [9] A. Arnold, M. Ehrhardt, M. Schulte und I. Sofronov, "Discrete transparent boundary conditions for the Schrödinger equation on circular domains", Preprint 10/08, Juni 2010. (eingereicht bei: Communications in Mathematical Sciences).
  
  [10] M. Ehrhardt und A. Zisowsky, "Fast Calculation of Energy and Mass preserving solutions of Schrödinger-Poisson systems on unbounded domains", J. Comput. Appl. Math. Vol. 187, Issue 1, (2006), 1-28.
  
  [11] M. Ehrhardt und A. Zisowsky, "Discrete non-local boundary conditions for Split-Step Pade Approximations of the One-Way Helmholtz Equation", J. Comput. Appl. Math. Vol. 200, Issue 2, (2007), 471-490.

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